J-Integral-Konzept
Das J-Integral hat auf Grund der energetischen Betrachtung des Bruchvorganges für Kunststoffe eine große Bedeutung erlangt [1, 2]. Das wegunabhängige Linienintegral umschließt den plastisch deformierten Bereich und verläuft im elastisch deformierten Bereich mit geschlossenem Integrationsweg um die Rissspitze (Bild 1). Die x- und y-Komponenten werden definiert durch

$J_x\,=\, \int_{R} \left( W \,dy-T_{ij} \cdot n_j \frac{\partial u}{\partial x}dR\right)$ und

$J_y\,=\, \int_{R} \left( -W \,dx-T_{ij} \cdot n_j \frac{\partial u}{\partial x}dR\right)$ .

mit

W		elastische Energiedichte
T		Spannungstensor
n		Außennormale der Kurve R um die Rissspitze
u		Verschiebungsvektor

Die experimentelle Bestimmung erfolgt nach Bild 1 b bis d, indem aus den registrierten Kraft-Kraftangriffspunktverschiebungs-Kurven mit unterschiedlichen Kerbtiefen durch Planimetrieren die Verformungsenergie A_G ermittelt und das Verhältnis A_G/B in Abhängigkeit von a dargestellt wird.
Durch graphische Diffenrentation ergibt sich

$J\,=\,\frac{1}{B} \frac{\partial A_G}{\partial a}$

als Funktion der Kraftangriffspunktverschiebung bzw. Durchbiegung.
Da der Aufwand zur Bestimmung von J-Werten nach dieser Prozedur für die praktische Kennwertermittlung zu hoch ist, wurden Näherungsformeln entwickelt. Die für Kunststoffe geeigneten Verfahren sind [3]:

Näherungsverfahren nach SUMPTER und TURNER und
Näherungsverfahren nach MERKLE und CORTEN

Für elastisches Werkstoffverhalten ist das J-Integral mit der Energiefreisetzungsrate G identisch:

	$J_I\,=\,G_I\,=\,\frac{{K_I}^2}{E}$	für ESZ bzw.
	$J_I\,=\,G_I\,=\,\frac{{K_I}^2}{E} \left( 1- {\nu}^2 \right)$	für EDZ.

Diese Gleichungen sind für die Umrechnung von J_Ic-Werten in K_Ic^J-Werte anzuwenden.

Bild 1:

Bestimmung des J-Integrals: wegunabhängiges Linienintegral mit 1 plastisch deformierter Bereich (energiedissipative Zone) und 2 elastisch deformierter Bereich (a), experimentell ermittelte Kraft-Kraftangriffspunktverschiebungs-Kurven unterschiedlicher Risslänge (b), durch Planimetrieren der F = F(v, f)-Abhängigkeit ermittelte Energie , bezogen auf die Prüfkörperdicke als Funktion der Risslänge (c) und durch Differenzieren der Kurven (c) bestimmtes J-Integral (d) [3]

Die kritischen J-Werte sind geometrieunabhängig, d.h. echte Werkstoffkennwerte, wenn das Kriterium

$B{,}\ a{,}\ \left( W-a \right)\,\ge\,\varepsilon \frac{J}{\sigma_y}$

mit

$\epsilon \!$

werkstoffabhängige Konstante des Geometriekriteriums des J-Integral-Konzeptes

erfüllt ist.

Literaturhinweise

[1]	Cherepanov, G. P.: On Crack Propagation in Continuous Media. Applied Mechanics and Mathematics 31 (1967) 503
[2]	Rice, J. R.: A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks. J. Appl. Mech. (1968) 379386
[3]	Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 258/259 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe AMK-Büchersammlung unter A 18)

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